Hàm Số Chẵn Lẻ Là Gì? Cách Xác Định và Bài Tập Minh Họa

Hàm số chẵn lẻ là một khái niệm quan trọng trong toán học. Việc nắm vững kiến thức về hàm số chẵn lẻ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tính đối xứng của đồ thị hàm số. Bài viết này sẽ giải đáp chi tiết về hàm số chẵn, hàm số lẻ, cách xác định và kèm theo bài tập minh họa.

Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hàm Số Chẵn là gì?

Hàm số y = f(x) xác định trên miền D được gọi là hàm số chẵn nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Với mọi x thuộc D, thì -x cũng thuộc D.
• f(-x) = f(x) với mọi x thuộc D.

Nói cách khác, hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Ví dụ: Hàm số y = x² là hàm số chẵn vì:

• Miền xác định D = R. Với mọi x thuộc R, -x cũng thuộc R.
• f(-x) = (-x)² = x² = f(x).

Hàm Số Lẻ là gì?

Hàm số y = f(x) xác định trên miền D được gọi là hàm số lẻ nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Với mọi x thuộc D, thì -x cũng thuộc D.
• f(-x) = -f(x) với mọi x thuộc D.

Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ: Hàm số y = x³ là hàm số lẻ vì:

• Miền xác định D = R. Với mọi x thuộc R, -x cũng thuộc R.
• f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x).

Đồ Thị của Hàm Số Chẵn, Lẻ

• Hàm số chẵn: Đồ thị đối xứng qua trục tung (Oy).
• Hàm số lẻ: Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ (O).

Hàm Số Không Chẵn Không Lẻ

Một hàm số có thể không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. Điều này xảy ra khi hàm số không thỏa mãn ít nhất một trong hai điều kiện của hàm chẵn hoặc hàm lẻ.

Ví dụ: Hàm số y = 2x + 1 không chẵn cũng không lẻ.

Hàm Số Vừa Chẵn Vừa Lẻ

Hàm số y = 0 là hàm số duy nhất vừa chẵn vừa lẻ.

Cách Xác Định Hàm Số Chẵn, Lẻ

Để xác định tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định D: Kiểm tra xem với mọi x thuộc D thì -x có thuộc D hay không. Nếu không, kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

2. Tính f(-x): Thay x bằng -x vào hàm số để tính f(-x).

3. So sánh f(-x) và f(x):

   • Nếu f(-x) = f(x), hàm số là hàm chẵn.
   • Nếu f(-x) = -f(x), hàm số là hàm số lẻ.
   • Nếu f(-x) ≠ f(x) và f(-x) ≠ -f(x), hàm số không chẵn không lẻ.

Bài Tập Xét Tính Chẵn Lẻ của Hàm Số

Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau: y = x⁴ – 2x² + 3

Giải:

1. Tập xác định D = R. Với mọi x thuộc R, -x cũng thuộc R.

2. f(-x) = (-x)⁴ – 2(-x)² + 3 = x⁴ – 2x² + 3 = f(x)

3. Vì f(-x) = f(x), nên hàm số y = x⁴ – 2x² + 3 là hàm số chẵn.

Một Số Hàm Số Chẵn Lẻ Thường Gặp

• Hàm chẵn: y = cos(x), y = x²ⁿ (n là số nguyên dương)
• Hàm lẻ: y = sin(x), y = tan(x), y = x²ⁿ⁺¹ (n là số nguyên dương)

Ứng Dụng của Hàm Số Chẵn Lẻ

Kiến thức về hàm số chẵn lẻ giúp đơn giản hóa việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, tính toán tích phân, giải phương trình,…