Cách Xác Định Giao Tuyến Của Hai Mặt Phẳng

Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

A. Phương pháp xác định giao tuyến

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần tìm hai điểm chung của cả hai mặt phẳng đó. Đường thẳng nối hai điểm chung này chính là giao tuyến cần tìm.

Thông thường, việc tìm điểm chung thứ nhất khá dễ dàng. Để tìm điểm chung thứ hai, ta cần xác định hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đã cho, đồng thời hai đường thẳng này phải cùng nằm trong một mặt phẳng thứ ba và không song song với nhau. Giao điểm của hai đường thẳng này chính là điểm chung thứ hai.

Lưu ý: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, nghĩa là nó vừa thuộc mặt phẳng này, vừa thuộc mặt phẳng kia.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI.
D. Đường thẳng SO nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt.

Lời giải

Phân tích các phương án:

• Phương án A: Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên là (SAB), (SBC), (SCD) và (SAD). Vậy A đúng.

• Phương án B:

Vậy B đúng.

• Tương tự, ta có SI = (SAD) ∩ (SBC). Vậy C đúng.

• Đường thẳng SO không nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt. Vậy D sai.

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song. Lấy điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).

A. SO với O là giao điểm của AC và BD.
B. SI với I là giao điểm của AB và CD.
C. SE với E là giao điểm của AD và BC.
D. Đáp án khác

Lời giải

• Ta có: S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (1)

• Gọi O là giao điểm của AC và BD trong mặt phẳng (ABCD).

• Vì

• Từ (1) và (2) suy ra SO = (SAC) ∩ (SBD).

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song. Lấy điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD).

A. SO với O là giao điểm của AC và BD.
B. SI với I là giao điểm của AB và CD.
C. SE với E là giao điểm của AD và BC.
D. Đáp án khác

Lời giải

• Ta có S ∈ (SAB) ∩ (SCD) (1)

• Gọi I là giao điểm của AB và CD trong mặt phẳng (ABCD).

• Vì

• Từ (1) và (2) suy ra SI = (SAB) ∩ (SCD).

Chọn B.

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB) là:

A. AN với N là trung điểm CD.
B. AM với M là trung điểm AB.
C. AH với H là hình chiếu của A lên BG.
D. AK với K là hình chiếu của C lên BD.

Lời giải

• Ta có A ∈ (ABG) ∩ (ACD) (1)

• Gọi N là giao điểm của BG và CD. Khi đó N là trung điểm của CD.

• Từ (1) và (2) suy ra NA = (ABG) ∩ (ACD).

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. Lấy E, F lần lượt trên cạnh AB, AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I, thì I không là điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?

A. (BCD) và (DEF)
B. (BCD) và (ABC)
C. (BCD) và (AEF)
D. (BCD) và (ABD)

Lời giải

• Do I là giao điểm của EF và BC nên I ∈ BC và I ∈ (BCD) (1)

• Hơn nữa, I ∈ EF và

• Từ (1) và (2) suy ra:

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN) là:

A. Đường thẳng MN
B. Đường thẳng AM
C. Đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD)
D. Đường thẳng AH (H là trực tâm tam giác ACD)

Lời giải

• Ta có B ∈ (MBD) ∩ (ABN) (1)

• Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD nên AN và DM là hai trung tuyến của tam giác ACD. Gọi G là giao điểm của AN và DM. Khi đó G là trọng tâm tam giác ACD.

• Từ (1) và (2) suy ra BG = (ABN) ∩ (MBD)

Chọn C.

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB // CD). Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD).
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC).
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD.

Lời giải

Chọn D.

• Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên là (SAB), (SBC), (SCD) và (SAD), nên A đúng.

• S và O là hai điểm chung của (SAC) và (SBD), nên B đúng.

• S và I là hai điểm chung của (SAD) và (SBC), nên C đúng.

• Giao tuyến của (SAB) và (SAD) là SA. Rõ ràng SA không thể là đường trung bình của hình thang ABCD.

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M là một điểm trên đoạn AO. Gọi I và J là hai điểm trên cạnh BC và BD. Giả sử IJ cắt CD tại K, BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H, ME cắt AH tại F. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MIJ) và (ACD) là đường thẳng:

A. KM
B. AK
C. MF
D. KF

Lời giải

Chọn D.

• Do K là giao điểm của IJ và CD nên K ∈ (MIJ) ∩ (ACD) (1)

• Ta có F là giao điểm của ME và AH. Mà AH ⊂ (ACD) và ME ⊂ (MIJ) nên F ∈ (MIJ) ∩ (ACD) (2)

• Từ (1) và (2) suy ra (MIJ) ∩ (ACD) = KF.

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trung điểm của SD, J là điểm trên SC và không trùng với trung điểm SC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (AIJ) là:

A. AK với K là giao điểm của IJ và BC.
B. AH với H là giao điểm của IJ và AB.
C. AG với G là giao điểm của IJ và AD.
D. AF với F là giao điểm của IJ và CD.

Lời giải

Chọn D.

• A là điểm chung thứ nhất của (ABCD) và (AIJ).

• IJ và CD cắt nhau tại F, còn IJ không cắt BC, AD, AB.

• Nên F là điểm chung thứ hai của (ABCD) và (AIJ).

• Vậy giao tuyến của (ABCD) và (AIJ) là AF.