Đường Trung Tuyến trong Tam Giác Vuông, Cân, Đều: Lý Thuyết và Bài Tập Lớp 7

[keyword]: đường trung tuyến tam giác vuông

Đường trung tuyến là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Bài viết này sẽ tập trung vào đường trung tuyến trong các loại tam giác đặc biệt như tam giác vuông, tam giác cân và tam giác đều. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu phương pháp giải và luyện tập qua một số ví dụ minh họa cùng bài tập tự luyện. Chắc chắn kiến thức về trục đối xứng là gì cũng sẽ hỗ trợ các em rất nhiều trong việc giải bài tập.

Phương Pháp Giải Bài Tập Đường Trung Tuyến

Dưới đây là một số tính chất quan trọng của đường trung tuyến cần ghi nhớ để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông, tam giác cân và tam giác đều:

• Trong tam giác cân (hoặc tam giác đều), đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân của tam giác.

• Một số tính chất quan trọng khác:

  • Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
  • Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau.
  • Trong tam giác đều, trọng tâm của tam giác cách đều ba cạnh.
  • Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM = 1/2 BC. Chứng minh ∠BMA = 2∠MAC và ∠CMA = 2∠MAB.

Hướng dẫn giải:

Vì AM là trung tuyến của ∆ABC và AM = 1/2 BC nên MA = MB = MC = 1/2 BC.

Suy ra ΔMAB, ΔMAC là các tam giác cân tại M.

Do đó ∠MAB = ∠MBA và ∠MAC = ∠MCA.

Xét ∆ACM, ∠BMA là góc ngoài tại đỉnh M nên ∠BMA = ∠MAC + ∠MCA = 2∠MAC.

Tương tự, xét ∆ABM, ∠CMA là góc ngoài tại đỉnh M nên ∠CMA = ∠MAB + ∠MBA = 2∠MAB.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Hướng dẫn giải: Xem hình minh họa ở đầu bài viết.

Xét ∆ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM. Ta cần chứng minh AM = 1/2 BC.

Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD = MA. Vậy AM = 1/2 AD, ta cần chứng minh AD = BC.

Xét ∆BMD và ∆CMA, ta có:

• MB = MC (M là trung điểm BC)
• ∠BMD = ∠CMA (đối đỉnh)
• MD = MA (theo cách dựng)

Do đó ∆BMD = ∆CMA (c.g.c).

Suy ra BD = CA (hai cạnh tương ứng) và ∠DBM = ∠ACM (hai góc tương ứng).

Mà ∠DBM và ∠ACM so le trong nên BD // AC.

Vì ∠BAC = 90° nên ∠ABD = 90°.

Xét ∆CAB và ∆DBA, ta có:

• ∠BAC = ∠ABD = 90°
• AB chung
• AC = BD (chứng minh trên)

Do đó ∆CAB = ∆DBA (hai cạnh góc vuông).

Suy ra BC = AD (hai cạnh tương ứng).

Vậy AM = 1/2 BC. Các kiến thức về tam giác có hai góc bằng 45 độ là tam giác gì cũng rất hữu ích cho việc giải bài tập liên quan.

Ví dụ 3: Cho ΔABC vuông tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Tính ∠ABD.

Hướng dẫn giải:

Xét ΔAMC và ΔDMB, ta có:

• MC = MB (M là trung điểm BC)
• ∠AMC = ∠DMB (đối đỉnh)
• MA = MD (giả thiết)

Do đó ΔAMC = ΔDMB (c.g.c).

Suy ra ∠MAC = ∠MDB (hai góc tương ứng) hay ∠DAC = ∠ADB.

Mà ∠DAC và ∠ADB so le trong nên BD // AC.

Vì AB ⊥ AC nên AB ⊥ BD.

Do đó ∠ABD = 90°. Tương tự, để giải các bài tập liên quan đến SAT, các em có thể tham khảo SAT là gì. Việc nắm vững khái niệm đường bộ theo luật giao thông đường bộ 2008 là gì cũng rất quan trọng cho các em học sinh. Còn trọng tâm của lý thuyết hội tụ (convergence theory) là gì? là một kiến thức nâng cao hơn.

Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Biết ∠BAM = 30°, tính ∠CAM.

Bài 2: Cho tam giác ABC, AM là đường trung tuyến. Biết AM = MB = MC. Tam giác ABC là tam giác gì?

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH ⊥ BC. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB. Điểm C là trọng tâm của tam giác nào?

Bài 4: Cho ΔABC có hai đường trung tuyến BN, CP vuông góc với nhau tại G. Biết BC = 5cm. Tính độ dài AG.

Bài 5: Cho ΔABC vuông tại A, trung tuyến AM. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Bài 6: Cho ΔABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Tam giác GBC là tam giác gì?

Bài 7: Cho ΔABC cân tại A có đường trung tuyến AM. Tính ∠AMB.

Bài 8: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE sao cho BD = CE. Khi đó tam giác ABC là tam giác gì?

Bài 9: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A. Đường phân giác của góc A cắt đường trung tuyến BD tại K. Gọi I là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây là sai?